Artigo de Luiz Barco, onde ensina um problema matemático sem o auxílio de calculadora.
por Luiz Barco
Em SUPERINTERESSANTE número 2, ano 4, escrevi sobre o soroban, o ábaco chinês ainda muito utilizado no Japão, que estimula os jovens a praticar a agilidade mental, o prazer e a disciplina e ajuda os mais idosos a prevenir a esclerose. Lembrei-me disso quando vi um problema sugerido por alguém para integrar mais uma edição especial de SUPERINTERESSANTE JOGOS. Trate-se, na verdade, de uma variação com o mesmo raciocínio de um velho problema que me foi apresentado quando eu era menino.
Uma senhora, mãe de três filhos, vai visitá-los e resolve presenteá-los com ovos frescos que traz em uma cesta. Ao mais velho, ela dá a metade do que possui e mais meio ovo. O do meio recebe metade do que restou na cesta e mais meio ovo. O filho mais novo ganha a metade do novo resto e mais meio ovo e a mãe fica sem nada. Quantos ovos havia na cesta e quantos a mãe deu a cada filho? É curioso, mas muitas crianças que ainda não aprenderam Álgebra na escola resolvem esse problema sem grandes dificuldades. Outras, mais apegadas a detalhes, ficam imaginando alguma armadilha escondida na bizarra idéia do meio ovo. Os mais escolarizados respondem imediatamente: x (xis). Como se tudo em Matemática fosse um x. A seguir começam a desmontar o enunciado: se na cesta havia x ovos, sua metade é x/2 e ao primeiro filho a mãe deu:
x/2 + ½, restando na cesta
x/2 – ½ (1º resto).
Recebeu x/2 – ½/2 + ½ restando
x/2 – ½/2 - ½ (2º resto)
Note que o terceiro filho recebeu a metade do segundo resto e mais meio ovo recebendo, portanto,
(x/2 – ½/2 - ½)/2 + ½
São dois os modos de resolver esse problema, ambos malucos, usando uma única incógnita x.O primeiro seria somar o que cada um dos três filhos recebeu e igualar a soma ao total dos ovos da cesta.
(x/2 – ½/2 - ½)/2 + ½ + x/2 – ½/2 - ½ + x/2 + ½
(terceiro filho) (segundo filho) (primeiro filho)
Outra maneira seria igualar o terceiro resto a zero:
(x/2 – ½/2 - ½)/2 - ½ = 0
Se você resolver qualquer uma dessas equações encontrará a solução, mas não faça isso. Pergunte a quem ainda não aprendeu equações, pois ele, talvez, responda assim, raciocinando do terceiro para o primeiro filho: se a mãe deu ao último filho metade do que havia na cesta e mais meio ovo, ficando sem nada, é porque meio ovo é a metade do conteúdo da cesta. Logo, havia um ovo apenas quando ela chegou ao terceiro filho. Bem, já sabemos que o terceiro filho recebeu apenas um ovo, que era tudo o que a mãe possuía ao deixar o segundo filho. Ora, ao segundo filho, ela deu metade do que havia sobrado do primeiro e mais meio ovo, ficando, como já sabemos, com um único ovo.
Se não tivesse dado o meio ovo, teria lhe restado um ovo e meio, ou seja, metade da quantidade com que chegou ao segundo filho: três ovos. Observe que, se chegou ao segundo com três ovos, deu metade da quantidade (um e meio) e mais meio: dois ovos portanto. Assim, já sabemos que ao terceiro ela deu um ovo e ao segundo, dois, tendo vindo do primeiro filho com três ovos. Isso é a metade do total, menos meio ovo: portanto, a metade do conteúdo total da cesta é equivalente a três ovos e meio. Consequentemente, a mãe possuía sete ovos. Ao primeiro filho deu a metade (três e meio) e mais meio = quatro ovos. Da mesma forma como registramos o uso abusivo do computador e das calculadoras, tem gente que quando as esquece em casa tem a sensação de ter saído se cérebro. O mesmo se aplica a certos currículos que, de tão algebrizados, sonegam aos alunos a Aritmética e Geometria. Não estou criando uma cruzada antiálgebra, mas é preciso dar à técnica o que é da técnica e ao cérebro o que é do cérebro. Ambos em doses corretas servem ao espírito.
Uma senhora, mãe de três filhos, vai visitá-los e resolve presenteá-los com ovos frescos que traz em uma cesta. Ao mais velho, ela dá a metade do que possui e mais meio ovo. O do meio recebe metade do que restou na cesta e mais meio ovo. O filho mais novo ganha a metade do novo resto e mais meio ovo e a mãe fica sem nada. Quantos ovos havia na cesta e quantos a mãe deu a cada filho? É curioso, mas muitas crianças que ainda não aprenderam Álgebra na escola resolvem esse problema sem grandes dificuldades. Outras, mais apegadas a detalhes, ficam imaginando alguma armadilha escondida na bizarra idéia do meio ovo. Os mais escolarizados respondem imediatamente: x (xis). Como se tudo em Matemática fosse um x. A seguir começam a desmontar o enunciado: se na cesta havia x ovos, sua metade é x/2 e ao primeiro filho a mãe deu:
x/2 + ½, restando na cesta
x/2 – ½ (1º resto).
Recebeu x/2 – ½/2 + ½ restando
x/2 – ½/2 - ½ (2º resto)
Note que o terceiro filho recebeu a metade do segundo resto e mais meio ovo recebendo, portanto,
(x/2 – ½/2 - ½)/2 + ½
São dois os modos de resolver esse problema, ambos malucos, usando uma única incógnita x.O primeiro seria somar o que cada um dos três filhos recebeu e igualar a soma ao total dos ovos da cesta.
(x/2 – ½/2 - ½)/2 + ½ + x/2 – ½/2 - ½ + x/2 + ½
(terceiro filho) (segundo filho) (primeiro filho)
Outra maneira seria igualar o terceiro resto a zero:
(x/2 – ½/2 - ½)/2 - ½ = 0
Se você resolver qualquer uma dessas equações encontrará a solução, mas não faça isso. Pergunte a quem ainda não aprendeu equações, pois ele, talvez, responda assim, raciocinando do terceiro para o primeiro filho: se a mãe deu ao último filho metade do que havia na cesta e mais meio ovo, ficando sem nada, é porque meio ovo é a metade do conteúdo da cesta. Logo, havia um ovo apenas quando ela chegou ao terceiro filho. Bem, já sabemos que o terceiro filho recebeu apenas um ovo, que era tudo o que a mãe possuía ao deixar o segundo filho. Ora, ao segundo filho, ela deu metade do que havia sobrado do primeiro e mais meio ovo, ficando, como já sabemos, com um único ovo.
Se não tivesse dado o meio ovo, teria lhe restado um ovo e meio, ou seja, metade da quantidade com que chegou ao segundo filho: três ovos. Observe que, se chegou ao segundo com três ovos, deu metade da quantidade (um e meio) e mais meio: dois ovos portanto. Assim, já sabemos que ao terceiro ela deu um ovo e ao segundo, dois, tendo vindo do primeiro filho com três ovos. Isso é a metade do total, menos meio ovo: portanto, a metade do conteúdo total da cesta é equivalente a três ovos e meio. Consequentemente, a mãe possuía sete ovos. Ao primeiro filho deu a metade (três e meio) e mais meio = quatro ovos. Da mesma forma como registramos o uso abusivo do computador e das calculadoras, tem gente que quando as esquece em casa tem a sensação de ter saído se cérebro. O mesmo se aplica a certos currículos que, de tão algebrizados, sonegam aos alunos a Aritmética e Geometria. Não estou criando uma cruzada antiálgebra, mas é preciso dar à técnica o que é da técnica e ao cérebro o que é do cérebro. Ambos em doses corretas servem ao espírito.
Luiz Barco é professor da Escola de Comunicações e Artes da Universidade de São Paulo
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